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\title{Wyel Group $W(F_4)$}
\author{Misaki Ohta,University of the Ryukyus \thanks{Department of physics, Email: e193225@eve.u-ryukyu.ac.jp or apple.designed@icloud.com}}
\begin{document}
\maketitle
\section{四元数によるWeyl Group $W(F_4)$に関して}
ワイル群$W(F_4)$はDualな四元数環$\mathscr{H}^2$を用いて
$$
\begin{aligned}
&e_{1}=\frac{1}{2}(1+i q+j r-k p) \\
&e_{2}=\frac{1}{2}(1-i p-j q-k r) \\
&e_{3}=\frac{1}{2}(1-i p-j r+k q) \\
&e_{4}=\frac{1}{2}(1-i q-j p+k r)
\end{aligned}
$$
で生成される乗法群のであった.ただし
$$
\begin{aligned}
&i^{2}=j^{2}=k^{2}=i j k=-1 \\
&i j=-j i=k, \quad j k=-k j=i, \quad k i=-i k=j
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&p^{2}=q^{2}=r^{2}=p q r=-1 \\
&p q=-q p=r, \quad q r=-r q=p, \quad r p=-p r=q
\end{aligned}
$$
を満たす.前回の論文で確かめたように上の生成元は
$$
W\left(F_{4}\right)=<a, b, c, d \mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=d^{2}=(a b)^{3}=[a, c]=[a, d]=(b c)^{4}=[b, d]=(c d)^{3}=1>
$$
を実際に満たす.今回はこのWeyl群$W(F_4)$の構造に具体的に詳しく調べていきたい.前回の付録に記載した以下の元からなる四元数によって作られる$2 \cdot A_4$と同型の位数$24$の群をリストとして載せておく.
\begin{screen}
$$
\begin{array}{lll}
  \pm i\\
  \pm j\\
  \pm k\\
\pm \omega&=\pm \frac{1}{2}(1+i+j+k)&=\mp \omega^4\\
\pm \omega^2&=\pm \frac{1}{2}(-1+i+j+k)&=\mp \omega^5\\
\pm \omega^3&=\pm 1\\
\pm i \omega&=\pm\frac{1}{2}(-1+i-j+k)&=\pm \omega k\\
\pm j \omega&=\pm\frac{1}{2}(-1+i+j-k)&=\pm \omega i\\
\pm k \omega&=\pm\frac{1}{2}(-1-i+j+k)&=\pm \omega j\\
\pm i \omega^{2}&=\pm\frac{1}{2}(-1-i-j+k)&=\pm \omega^{2} j\\
\pm j \omega^{2}&=\pm\frac{1}{2}(-1+i-j-k)&=\pm \omega^{2} k\\
\pm k \omega^{2}&=\pm\frac{1}{2}(-1-i+j-k)&=\pm \omega^{2} i
\end{array}
$$
\end{screen}
実際調べたところによると$W(F_4)$はこの群を部分群にもち、加えて言うなれば$\langle p,q,r,\frac{1+p+q+r}{2} \rangle$で生成される上と同型の群も部分群にもつ.今簡単のため
$$
\Omega := \frac{1+p+q+r}{2}
$$
とすると、上と同様の構造である
$$
\begin{array}{lll}
  \pm p\\
  \pm q\\
  \pm r\\
\pm \Omega&=\pm \frac{1}{2}(1+p+q+r)&=\mp \Omega^4\\
\pm \Omega^2&=\pm \frac{1}{2}(-1+p+q+r)&=\mp \Omega^5\\
\pm \Omega^3&=\pm 1\\
\pm p \Omega&=\pm\frac{1}{2}(-1+p-q+r)&=\pm \Omega r\\
\pm q \Omega&=\pm\frac{1}{2}(-1+p+q-r)&=\pm \Omega p\\
\pm r \Omega&=\pm\frac{1}{2}(-1-p+q+r)&=\pm \Omega q\\
\pm p \Omega^{2}&=\pm\frac{1}{2}(-1-p-q+r)&=\pm \Omega^{2} q\\
\pm q \Omega^{2}&=\pm\frac{1}{2}(-1+p-q-r)&=\pm \Omega^{2} r\\
\pm r \Omega^{2}&=\pm\frac{1}{2}(-1-p+q-r)&=\pm \Omega^{2} p
\end{array}
$$
も部分群として含む. 交代群$A_4$の性質として、以下の式を上の部分群は常に満たすことも計算上有用である.
\begin{screen}
$$
\begin{array}{llllll}
i \omega=\omega k & j \omega=\omega i & k \omega=\omega j \\
i \omega^2=\omega^2 j & j \omega^2=\omega^2 k & k \omega^2=\omega^2 i
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{llllll}
p \Omega=\Omega r & q \Omega=\Omega p & r \Omega=\Omega q \\
p \Omega^2=\Omega^2 q & q \Omega^2=\Omega^2 r & r \Omega^2=\Omega^2 p
\end{array}
$$
\end{screen}
今手始めに以下の部分群を調べる.
\subsection{部分群$2\cdot A^2_4$}

\begin{itembox}{問}
以下で生成される群$G$は位数$288$
$$
G := \langle e_1 e_2, e_3 e_4 \rangle
$$
は
$$
G \cong 2 \cdot (A_4 \times A_4)
$$
であることを示せ.
\end{itembox}
(考察)\\
$e_1 e_2, e_3 e_4$はそれぞれ
$$
\begin{aligned}
&e_1 e_2:=\tau_1=\frac{1}{4}(1+i-j+k)(1-p+q-r) \\
&e_3 e_4:=\tau_2=\frac{1}{4}(1+i+j-k)(1-p-q-r)
\end{aligned}
$$
である.上に用いた定義に従い書き換え
$$
\begin{aligned}
&\tau_1=\left(k \omega^2\right)(p \Omega) \\
&\tau_2=\left(i \omega^2\right)\left(\Omega^2\right)
\end{aligned}
$$
上の恒等式を使っていくつか計算した結果を以下に示す.
$$
\begin{aligned}
\tau_1 \tau_2 &=-\omega p \\
\tau_2 \tau_1 &=k \omega r \\
\tau_1^2 &=i \omega r \Omega^2 \\
\left(\tau_1 \tau_2\right)^2 &=-\omega^2 \\
\left(\tau_2 \tau_1\right)^2 &=-j \omega^2 \\
\left(\tau_1 \tau_2\right)^3 &=-p\\
\left(\tau_2 \tau_1\right)^3&=-i r \\
\left(\tau_1 \tau_2\right)^3\left(\tau_2 \tau_1\right)^3&=-i q \\
\tau_1^2\left(\tau_1 \tau_2\right)^2&=i r \Omega^2
\end{aligned}
$$
これよりこの群は以下
$$
<i,j,k,\omega> \times <p,q,r,\Omega>
$$
であることが実験的にうかがえるし、実際証明も可能である.この群$G$の元は$2 \cdot A^2_4$と同型であり、以下の表の要素からなる.($\pm 1$の符号は省略している.よって以下の要素からなる群は$2 \cdot A^2_4/\{\pm \}$である.)
$$
\begin{aligned}
&\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|lllll|}
\hline 1& i & j & k & \omega & i \omega  & j \omega & k \omega & \omega^2 & i \omega^2 & j \omega^2 & k \omega^2 \\
\hline q & i p & j p & k p & \omega p & i \omega p & j \omega p & k \omega p & \omega^2 p & j \omega^2 p & j \omega^2 p & k \omega^2 p \\
\hline q & i q & j q & k q & \omega q & i \omega q & j \omega q & k \omega q & \omega^2 q & j \omega^2 q & j \omega^2 q & k \omega^2 q\\
\hline r & i r & j r & k r & \omega r & i \omega r & j \omega r & k \omega r & \omega^2 r & j \omega^2 r & j \omega^2 r & k \omega^2 r\\
\hline \Omega & i \Omega & j \Omega & k \Omega & \omega \Omega & i \omega \Omega & j \omega \Omega & k \omega \Omega & \omega^2 \Omega & j \omega^2 \Omega & j \omega^2 \Omega & k \omega^2 \Omega\\
\hline p \Omega & i p \Omega & j p \Omega & k p \Omega & \omega p \Omega & i \omega p \Omega & j \omega p \Omega & k \omega p \Omega & \omega^2 p \Omega & j \omega^2 p \Omega & j \omega^2 p \Omega & k \omega^2 p \Omega\\
\hline q \Omega & i q \Omega & j q \Omega & k q \Omega & \omega q \Omega & i \omega q \Omega & j \omega q \Omega & k \omega q \Omega & \omega^2 q \Omega & j \omega^2 q \Omega & j \omega^2 q \Omega & k \omega^2 q \Omega\\
\hline r \Omega & i r \Omega & j r \Omega & k r \Omega & \omega r \Omega & i \omega r \Omega & j \omega r \Omega & k \omega r \Omega & \omega^2 r \Omega & j \omega^2 r \Omega & j \omega^2 r \Omega & k \omega^2 r \Omega\\
\hline \Omega^2 & i \Omega^2 & j \Omega^2 & k \Omega^2 & \omega \Omega^2 & i \omega \Omega^2 & j \omega \Omega^2 & k \omega \Omega^2 & \omega^2 \Omega^2 & j \omega^2 \Omega^2 & j \omega^2 \Omega^2 & k \omega^2 \Omega^2\\
\hline p \Omega^2 & i p \Omega^2 & j p \Omega^2 & k p \Omega^2 & \omega p \Omega^2 & i \omega p \Omega^2 & j \omega p \Omega^2 & k \omega p \Omega^2 & \omega^2 p \Omega^2 & j \omega^2 p \Omega^2 & j \omega^2 p \Omega^2 & k \omega^2 p \Omega^2\\
\hline q \Omega^2 & i q \Omega^2 & j q \Omega^2 & k q \Omega^2 & \omega q \Omega^2 & i \omega q \Omega^2 & j \omega q \Omega^2 & k \omega q \Omega^2 & \omega^2 q \Omega^2 & j \omega^2 q \Omega^2 & j \omega^2 q \Omega^2 & k \omega^2 q \Omega^2\\
\hline r \Omega^2 & i r \Omega^2 & j r \Omega^2 & k r \Omega^2 & \omega r \Omega^2 & i \omega r \Omega^2 & j \omega r \Omega^2 & k \omega r \Omega^2 & \omega^2 r \Omega^2 & j \omega^2 r \Omega^2 & j \omega^2 r \Omega^2 & k \omega^2 r \Omega^2\\
\hline
\end{array}\\
\end{aligned}
$$
(The list of $A^2_4$)
\subsection{剰余群$W(F_4)/A_$}
$W(F_4)$を四元数群で割った剰余類を考える.類の数は四元数群が位数$8$であるから、指数は$1152/8 = 144$である.ところでバーンサイドの定理より$a^n b^m$の群は可解群であるから、$W(F_4)$も可解群である.よって$<i,j>$は正規部分群であるから、剰余類は群をなす.上のリストとそのリスト全体にマイナスの符号をつけたものは、この剰余類のうちの二つであることが簡単な計算によってわかる.\\\\
\subsection{Notes}
$$
\begin{aligned}
&e_1 e_3=\frac{1}{2}(i+k)(-p+q) \\
&e_2 e_4=-\frac{1}{2}(i+j)(p+q)
\end{aligned}
$$
and
$$
(e_1e_3)^2 = -1
$$
\subsection{表現}
$$
\begin{aligned}
&\boldsymbol{i} := (i) \rho=\left(\begin{array}{cccc}
 & 1 &  &  \\
-1 &  &  &  \\
 &  &  & 1 \\
 &  & -1 &
\end{array}\right) \\\\
&\boldsymbol{j} :=(j) \rho=\left(\begin{array}{cccc}
 &  & 1 &  \\
 &  &  & -1 \\
-1 &  &  &  \\
 & 1 &  &
\end{array}\right) \\\\
&\boldsymbol{k}:=(k) \rho=\left(\begin{array}{cccc}
 &  &  & -1 \\
 &  & -1 &  \\
 & 1 &  &  \\
1 &  &  &
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{array}{l}
\boldsymbol{p}=(p)\rho=\left(\begin{array}{cccc}
 & 1 &  &  \\
-1 &  &  &  \\
 &  &  & -1 \\
 &  & 1 &
\end{array}\right) \\\\
\boldsymbol{q}=(q)\rho=\left(\begin{array}{cccc}
 &  & 1 &  \\
 &  &  & 1 \\
-1 &  &  &  \\
 & -1 &  &
\end{array}\right) \\\\
\boldsymbol{r}=(r)\rho=\left(\begin{array}{cccc}
 &  &  & 1 \\
 &  & -1 &  \\
 & 1 &  &  \\
-1 &  &  &
\end{array}\right)
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{l}
\boldsymbol{e}_1=(e_{1})\rho=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right) \\\\
\boldsymbol{e}_2=(e_{2})\rho=\left(\begin{array}{llll}
1 &  &  &  \\
 & 1 &  &  \\
 &  & 1 &  \\
 &  &  & -1
\end{array}\right) \\\\
\boldsymbol{e}_3=(e_{3})\rho=\left(\begin{array}{llll}
1 &  &  &  \\
 & 1 &  &  \\
 &  &  & 1 \\
 &  & 1 &
\end{array}\right) \\\\
\boldsymbol{e}_4=(e_{4})\rho=\left(\begin{array}{llll}
1 &  &  &  \\
 &  & 1 &  \\
 & 1 &  &  \\
 &  &  & 1
\end{array}\right)
\end{array}
$$



\end{document}
%**********************
%フォント
%\mathfrak{}
%\mathbb{}
%\mathscr{}
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