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\title{Misaki Ohta}
\author{University of the Ryukyus}
\begin{document}
%\maketitle
\section*{$\mathfrak{o}(8)$ and $D_4$ Lattice}
$\mathfrak{o}(8)$のCartan部分代数は
\begin{equation}
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
0 & 0 & 0 & 0 & -i \lambda_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i \lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i \lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i \lambda_3 \\
\hline i \lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & i \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & i \lambda_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & i \lambda_3 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\end{equation}
であった.一方で任意の$X \in \mathfrak{o}(8)$は$28$個の変数を用いて
$$
X = \left(\begin{array}{rrrrrrrr}
0 & a_{01} & a_{02} & a_{03} & a_{04} & a_{05} & a_{06} & a_{07} \\
-a_{01} & 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} & a_{17} \\
-a_{02} & -a_{12} & 0 & a_{23} & a_{24} & a_{25} & a_{26} & a_{27} \\
-a_{03} & -a_{13} & -a_{23} & 0 & a_{34} & a_{35} & a_{36} & a_{37} \\
-a_{04} & -a_{14} & -a_{24} & -a_{34} & 0 & a_{45} & a_{46} & a_{47} \\
-a_{05} & -a_{15} & -a_{25} & -a_{35} & -a_{45} & 0 & a_{56} & a_{57} \\
-a_{06} & -a_{16} & -a_{26} & -a_{36} & -a_{46} & -a_{56} & 0 & a_{67} \\
-a_{07} & -a_{17} & -a_{27} & -a_{37} & -a_{47} & -a_{57} & -a_{67} & 0
\end{array}\right)
$$
とあらわす事ができる.しかしここでは簡単のため以下の同型Lie代数の同型を用いて話を進めたい.
$\mathfrak{g}_J = \{X \in \mathfrak{gl}(n)| X^TJ + JX =0 \}$に対して${\mathfrak{g}}_{\tilde{J}} = \{X \in \mathfrak{gl}(n)| X^T(P^{T}JP) + (P^{T}JP)X =0 \}$
$$
\phi: \mathfrak{g}_J \rightarrow {\mathfrak{g}}_{\tilde{J}}
$$
Lie代数$\mathfrak{o}(2m)=\{X \in \mathfrak{gl}(2m)| X^T E_{2m} + E_{2m} X =0\}$はいつも以下の直交行列にてCartan部分代数が対角化された$\tilde{\mathfrak{o}}(2m)$への同型
$$
P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c|c}
E_m & E_m \\
\hline-i E_m & i E_m
\end{array}\right]
$$
が存在する.この$P$を用いることで$P^T E_{2m} P$は
$$
P^T E_{2m} P =  \left(\begin{array}{c|c}
0 & E_m \\
\hline E_m & 0
\end{array}\right)
$$
となるから
$$
X =
\left(\begin{array}{c|c}
X_{11} & X_{12} \\
\hline X_{21} & X_{22}
\end{array}\right)
$$
の満たすべき条件は
$$
\begin{aligned}
& X_{11}^{t}=-X_{22} \\
& X_{21}^{t}=-X_{21} \\
& X_{12}^{t}=-X_{12}
\end{aligned}
$$
となることがわかる.これにより与えられる$\mathfrak{g}_{\tilde{J}}$の元は反対称行列$T_i$として
$$
\tilde{X}=\left[\begin{array}{c|c}
X_{11} & T_1 \\
\hline T_2 & -X_{11}^t
\end{array}\right]
$$
で与えられることになる.同型写像変換前とはことなり対角成分をもつことができるので、Cartan部分代数は
\begin{equation}
\tilde{H}=\left(\begin{array}{rrrrrrrr}
\lambda_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -\lambda_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\lambda_1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\lambda_2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -\lambda_3
\end{array}\right)
\end{equation}
と改めて与えられることになる.$\tilde{X}$は
$$
\left(\begin{array}{rrrr|rrrr}
a_{00} & a_{10} & a_{20} & a_{30} & 0 & a_{41} & a_{42} & a_{43} \\
a_{01} & a_{11} & a_{21} & a_{31} & -a_{41} & 0 & a_{52} & a_{53} \\
a_{02} & a_{12} & a_{22} & a_{32} & -a_{42} & -a_{52} & 0 & a_{63} \\
a_{03} & a_{13} & a_{23} & a_{33} & -a_{43} & -a_{53} & -a_{63} & 0 \\
\hline 0 & a_{71} & a_{72} & a_{73} & -a_{00} & -a_{01} & -a_{02} & -a_{03} \\
-a_{71} & 0 & a_{82} & a_{83} & -a_{10} & -a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\
-a_{72} & -a_{82} & 0 & a_{93} & -a_{20} & -a_{21} & -a_{22} & -a_{23} \\
-a_{73} & -a_{83} & -a_{93} & 0 & -a_{30} & -a_{31} & -a_{32} & -a_{33}
\end{array}\right)
$$
これより$[\tilde{H},\tilde{X}]=\text{ad}(\tilde{H})(\tilde{X})}$に対し,$\text{ad}(\tilde{H})$は$(a_{00},a_{01},...,a_{93})$へ作用する$28 \times 28$の対角行列として($28$表現という.)
$$
\begin{aligned}
 \operatorname{diag}&\left(0, \lambda_0-\lambda_1, \lambda_0-\lambda_2, \lambda_0-\lambda_3\right. \\
& -\lambda_0+\lambda_1, 0, \lambda_1-\lambda_2, \lambda_1-\lambda_3 \text {, } \\
& -\lambda_0+\lambda_2,-\lambda_1+\lambda_2, 0, \lambda_2-\lambda_3 \\
& -\lambda_0+\lambda_3,-\lambda_1+\lambda_3,-\lambda_2+\lambda_3, 0 \text {, } \\
& \lambda_0+\lambda_1, \lambda_0+\lambda_2, \lambda_0+\lambda_3, \lambda_1+\lambda_2, \\
& \lambda_1+\lambda_3, \lambda_2+\lambda_3,-\lambda_0-\lambda_1,-\lambda_0-\lambda_2 \text {, } \\
& \left.-\lambda_0-\lambda_3,-\lambda_1-\lambda_2,-\lambda_1-\lambda_3,-\lambda_2-\lambda_3\right) \\
&
\end{aligned}
$$
と書ける. これをルートと呼ぶのであった. ゼロルートはCartan部分代数の次元の個数だけあり$4$つである.よってルート系(ノンゼロルート)は$28 - 5 = 24$個存在する.つまり$|\Delta| = 24$. ルートは$4$次元、つまり以下の一次結合で表せ
$$
\boldsymbol{\alpha}_i=c_0 \lambda_0+c_1 \lambda_1+c_2 \lambda_2+c_3 \lambda_3
$$
この係数ベクトル$\boldsymbol{c}=(c_0,c_1,c_2,c_3)$は以下の格子に属する.
$$
D_4=\operatorname{span}_{\mathbb{Z}}\left(\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
Cartan行列は
$$
C_{\alpha \beta}=\left(\begin{array}{cccc}
2 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 2 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
ワイル群は単純ルートの鏡映により生成されるのであって、それは
$$
W(D_4)=\left\langle\left(\begin{array}{llll}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{array}\right)\right\rangle
$$
位数$192$の群となる.
\end{document}
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%フォント
%\mathfrak{}
%\mathbb{}
%\mathscr{}
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